柯西不等式及其应用

数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式.

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名.
它的基本形式为
$$\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)^{2} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right).$$
也可以表示成
$$\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}\right) \geq\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}\right)^{2}.$$
当
$$\frac{x_{1}}{y_{1}}=\frac{x_{2}}{y_{2}}=\cdots=\frac{x_{n}}{y_{n}}$$
时，等号成立.

推论

将上文中不等式移项得

该式称作权方和不等式.

应用

已知$x+y=1, x>0, y>0$,求$\frac{1}{x^{2}}+\frac{8}{y^{2}}$最小值.
解:
$$\frac{1}{x^{2}}+\frac{8}{y^{2}}=\frac{1^{3}}{x^{2}}+\frac{2^{3}}{y^{2}} \geq \frac{(1+2)^{3}}{(x+y)^{2}}=27$$